Bertrand's box paradox

Den viktigste grunnen til å nevne Bertrand Russel er at han er opphavsmann til et av tidenes beste sitater:

A stupid man's report of what a clever man says can never be accurate, because he unconsciously translates what he hears into something he can understand.

Han har også et paradoks oppkalt etter seg, som minner litt om det mer kjente Monty Hall-problemet. Beskrivelsen er ganske enkel. Det er tre like bokser som hver inneholder to mynter. Den første har to gullmynter, den andre to sølvmynter, og den siste en mynt av hvert slag. Hvis man tar bind for øynene og trekker en tilfeldig mynt fra en tilfeldig boks, og denne viser seg å være av gull - hva er da sannsynligheten for at også den andre mynten i boksen er av gull?

Den naive måten å tenke er at om den første mynten er av gull, så må vi være i en av de to boksene med gullmynter. En av dem har enda en gullmynt, den andre har en sølvmynt. Svaret burde da være 50%. Men samtidig - når vi valgte en tilfeldig boks, så hadde to av tre bokser to mynter av samme type.

Den vanntette måten å tenke, og som også kan anvendes på Monty Hall, er at det er seks mynter vi kunne velge, og alle var like sannsynlige. Av disse begrenser vi oss til de tre som er av gull, og alle disse er også like sannsynlige. Men to av disse er i samme boks, den med to gullmynter, mens kun en av dem i er den blandede boksen. Altså er det første, naive resonnementet galt - gitt at vi har trukket en gullmynt så er ikke begge de mulige boksesne like sannsynlige.

Hvis så var tilfellet, så ville vi kunne regne som følger. I halvparten av tilfellene trekker vi en gullmynt. I halvparten av disse igjen trekker vi fra gullboksen, i den andre halvparten fra den blandede. Altså 1/4 av alle tilfellene. Men i den andre halvparten trekker vi en sølvmynt, og med akkurat samme utregning får vi da også 1/4 for sølvboksen, og nok 1/4 for den blandede. Totalen blir da 1/4 gullboks, 2/4 blandet, 1/4 sølvboks. Men vi trakk jo tilfeldig mellom tre bokser - disse tallene burde alle vært 1/3. Her har vi en motsigelse.

Det korrekte sannsynligheten for at den andre mynten i en er av samme type som den første er altså 2/3.

Bertrands paradoks er nært beslektet med et problem med et veldig kjedelig navn, Problemformuleringen er enda enklere:

Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?

Igjen finnes det to noenlunde fornuftige svar - enten 1/2 eller 1/3. I det første tilfellet sier man at det andre barnets kjønn er uavhengig av det første. I det andre tilfellet sier man at det er tre like sannsynlige muligheter, storesøster og lillebror, storebror og lillesøster eller to gutter. Den fjerde konfigurasjonen, to jenter, er utelukket av problembeskrivelsen.

Ingen av svarene er tilfredsstillende, fordi problemet ikke er like veldefinert som Bertrands paradoks. Dersom vi ringer på hos Herr Smith og den som tilfeldigvis åpner døren viser seg å være en gutt, så er 1/2 riktig svar. Dersom vi spør Herr Smith om noen av barna er gutter - kanskje vi prøver å gi bort en konfirmasjonsdress - så er svaret 1/3.

På samme måte er det korrekte svaret på Bertrands paradoks, dersom vi trekker tilfeldig mellom gullboksen og den blandede boksen, også 1/2. Det er det spesielle utvalgskriteriet, som gjør at vi har størst sannsynlighet for å ha landet i gullboksen, som gjør forskjellen.