Det finnes uendelig mange primtall. Mer folkelig: en liste over alle primtallene kan aldri være komplett.
Strukturen er nokså grei. Vi antar først det motsatte, altså vi ser for oss at vi faktisk har en komplett liste. Så konstruerer vi et nytt tall, m, som er produktet av alle tallene i listen. Tallet m må gi rest 0 når vi deler det på primtallene fra listen vår, siden de alle er faktorer i m. Men da må m+1 ha rest 1 med samtlige av tallene - ingen av dem er en faktor i m+1. Da er enten m+1 et primtall, eller det har andre primtallsfaktorer som ikke er med i listen vår.
Ergo: antar vi at det finnes en komplett liste, så kan vi vise at listen likevel ikke er komplett. Dette er en selvmotsigelse. Altså er antagelsen vår gal - det finnes uendelig mange primtall.
Kvadratroten av to er irrasjonell. Mer folkelig: den kan ikke skrives som en brøk av naturlige tall, p/q.
Igjen antar vi det motsatte, at vi har en slik brøk som er eksakt lik sqrt(2). Vi tillater oss å kvadrere begge sider og gange over nevneren, og få da 2q^2 = p^2 . Samtidig vet vi at alle naturlige tall har en entydig primtallsfaktorisering. Uansett hvor mange faktorer 2 det måtte være i p og q, så må nødvendigvis kvadratene ha et partall av dem. Men i tillegg har vi altså en ekstra faktor 2 på venstre side.
Ergo: det er et oddetall faktorer 2 på venstre side, og et partall faktorer på høyre side. Dermed må denne størrelsen ha to ulike primtallsfaktoriseringer, hvilket er umulig, og antagelsen vår er dermed gal. Kvadratroten av to er irrasjonell.
Det er ytterligere to ting man kan kommentere. Først - disse bevisene ble funnet for om lag 2500 år siden, av grekere som selv måtte utvikle den matematiske formalismen vi har arvet og tar for gitt. Uansett hvor mye man prater om Flynn-effekten så er det tydelig at de klokeste hodene i det antikke Hellas var et greit stykke over det som i dag er gjennomsnittet. Og kikker man nærmere på litteraturen og filosofien de har etterlatt seg, så er det vanskelig å påstå at det har skjedd noen positiv utvikling overhodet.
Dernest - ad absurdum kan være en nyttig måte å resonnere, også utenfor matematikkens verden. La oss prøve oss på noe så vågalt som et ad absurdum bevis for dødsstraff. Hjelpes. Vi ser for oss en liten stamme med eskimoer, hvor en av dem har såkalt antisosial adferd. Voldtekt, barnemishandling, drap - det er intet nytt under solen. Det finnes mennesker som til slutt sprenger enhver rimelig tålegrense, hvor det å prøve å rehabilitere vedkommende til slutt fremstår som absurd.
Det kritiske er at frihetsberøvelse ikke er et realistisk alternativ for en liten gruppe omreisende mennesker som lever under krevende forhold. I praksis har den vanligste straffen vært å bli utstøtt fra gruppen, som for de fleste formål er det samme som dødsstraff. Og om ikke eksilet respekteres, så må det være en strengere sanksjon i bakhånd - nettopp dødstraff. Se gjerne fredløshet.
Men selv om man kjøper argumentasjonen, så trenger man ikke å være for dødsstraff på generelt grunnlag. Kanskje er det nok å føye til noen ekstra forutsetninger, om at dødsstraff er feil i et samfunn, gitt en rekke punkter. Kanskje at det er fredstid og at man har tilstrekkelige ressurser til å praktisere frihetsberøvelse. Men ad absurdum har gjort jobben sin. At dødsstraff i sin natur er galt blir en for generell påstand.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar