Rotutdragning som hoderegning, og også litt om linearisering

Det er kanskje ikke et særlig vanlig problem, men hva om man ville finne ut hva kvadratroten av 60 var, og ikke hadde en kalkulator for hånden?

Det første man kan si, om man kan kvadrattallene sine utenat, er at det må være mellom 7 og 8, fordi:

7^2 = 49 < 60 < 64 = 8^2

Allerede her kan man vel også slumpe til og si at siden 60 er mye nærmere 64 enn 49, så er kanskje kvadratroten ca 7,75 eller noe slikt. Men litt mer ryddig kan vi merke oss at 64 - 49 = 15. Dermed burde verdien av kvadratroten endre seg fra 7,0 til 8,0 i femten steg, ettersom vi går fra 49 til 64. Og i mangel på noe bedre så kan vi forsøke å anta at disse er like store. Altså:

sqrt(50) = 7 + 1/15, sqrt(51) = 7+2/15, ..., sqrt(60) = 7 + 11/15

Nå er det ikke noen drøm å regne ut brøken 11/15 i hodet heller, men vi kan resirkulere det samme trikset som over:

10/15 = 2/3 = 0,67 < 11/15 < 12/15 = 4/5 = 0,8

Totalt sett burde vi altså ende opp ca midt mellom disse to verdiene. Og hvis vi i tillegg jukser litt og husker på at kvadratroten er en konkav funksjon, så vet vi også at vi burde runde opp heller enn ned. Så da ender vi opp med et overslag:

sqrt(60) = 7,74

Den faktiske verdien er 7.74597..., og avviket vårt er altså på under én promille. Ikke helt verst, men heller ikke bedre enn jeg klarte å gjette bare ved å kikke på tallene.

Det finnes langt bedre måter å beregne kvadratrøtter. Men metoden som er brukt over er en form for linearisering, som i tillegg til å være svært enkel også kan brukes på nær sagt alle tenkelige problemstillinger. Det frister å påstå at størsteparten av klassisk fysikk baserer seg på at man kan linearisere ulike fysiske fenomener over tilstrekkelig små intervaller.

For eksempel Hookes lov for fjærkraft og Newtons lov for varmetap.