Hva er det som er så bra med titallssystemet?

For å holde rede på tall, er det enkleste man se for seg systemet som brukes på endel terninger, hvor antallet øyne svarer til tallet det skal representere. Det er mange ulemper med denne måten å gjøre det - det tar mye plass å skrive store tall, og ikke minst er det vanskelig å lese. Allerede med tallene 5 og 6 på en terning, så trengs det mer enn et blikk for å skjelne forskjellen på antallet prikker. Derfor er prikkene også plassert i bestemte, gjenkjennelige mønstre, slik at man slipper å telle. Tall som 27 er selvsagt langt verre.

Det er også mange fordeler med dette tallsystemet. Det er så enkelt at man ikke engang trenger å lære det. Det er ingen spesialsymboler. I grunnskolen bruker man endel tid på å lære at 32 er større enn 19. Dette er helt åpenbart om man kikker på to hauger med prikker.

Romertallene gir en helt brukbar løsning på dette med å kunne skrive store tall noenlunde kompakt. Det er vanskelig for oss som har så lite erfaring med dem å bedømme, men de er antageligvis endel vanskeligere å lese enn våre tall. Man får ikke like mye gratis med at det tallet med flest symboler alltid er størst, og det krever litt ekstra å se hvilke av bokstavene som er plassert slik at de fungerer subtraktivt.

En vanlig misforståelse er at den store fordelen med titallssystemet er at man kan skrive vilkårlig store tall nokså kompakt, uten å måtte finne på noe symboler. Hvis dette var det viktige, så finnes det faktisk langt bedre tallsystemer, for eksempel utvidelsen av titallssystemet som kalles normalform. Det er mange tall som er ubehagelige å skrive i vanlig titallsnotasjon, for eksempel Avogadros tall.

Den virkelig store fordelen med titallssystemet dukker først opp når vi prøver å regne med dem. Allerede om du prøver å legge sammen to romertall og lurer på hvor mange I'er og V'er som bør med, så gir den subtraktive notasjonen deg endel problemer. Og det å multiplisere romertall høres marerittaktig ut, selv om de sikkert hadde sin lure metoder.

Det geniale med titallsystemet er at det gir endel svært enkle algoritmer for å bryte ned addisjon, multiplikasjon og tilogmed divisijon i mindre, enklere delproblemer. Å legge sammen to tall krever intet annet enn gjentatt addisjon av to ensifrede tall, pluss å bære med seg eventuell mente. Multiplikasjon kan brytes ned til litt addisjon og flittig bruk av den lille gangetabellen.

Nettopp dette med å bryte ned problemer i mindre, enklere delproblemer er den aller beste fremgangsmåten når man skal løse en oppgave. De virkelig vanskelige problemene er typisk de som ikke lar seg dele opp på denne måten, slik som travelling salesman.

Forventningsverdi og store talls lov

Forventningsverdien er 3,5 når man kaster en vanlig terning. Det er omtrent som det bør være - tre av sidene er større og tre av sidene er mindre enn denne verdien. Forventningsverdien kan forstås som det gjennomsnittet man bør regne med å få, om man kaster terningen mange ganger.

Store talls lov er en statistisk effekt som gjør at man kan regne med å komme nærmere forventningsverdien om man kaster mange ganger. Det er omtrent det samme prinsippet som gjør at man helst vil ha mange respondenter når man utfører en spørreundersøkelse.

Se så for deg følgende: du spiller et spill, hvor du selv kan velge hvor mange terninger du vil kaste. Du vinner hvis totalsummen din er akkurat lik forventningsverdien for det valgte antallet terninger. Mange føler at det beste valget burde være enten 1 eller så mange som mulig.

Akkurat på grunn av dette med forventningsverdi, så må vi først utelukke alle odde antall terninger. Hvis ikke får vi komma fem i forventingsverdien, og det er ingen halve øyne på terninger. Men er det bedre med 1000 enn med 2? Hva med store talls lov?

Det er enkelt å vise at 2 terninger er det beste valget. Uansett hva du triller på den første terningen, så vil det være nøyaktig en av seks muligheter på den neste som gir en totalsum 7.

Hvis vi isteden prøver oss med 4 terninger, og en forventningsverdi på 14, så kan det ikke gå noe bedre. Om de første 3 terningene gir 8-13 så har vi en sjettedels sjanse, akkurat som med to terninger. Dette vil som oftest skje, på grunn av hvordan en normalfordeling ser ut. Men iblant vil man få 16 på de første tre terningene. En sekser og to femmere, kanskje. Og derfor er sannsynligheten totalt sett mindre enn en av seks, om vi bruker flere enn 2 terninger.

Forklaringen på dette er veldig enkel, men viktig å ha i bakhodet. Store talls lov dreier seg om relativavvik fra forventningsverdien. Jo flere terninger du kaster, jo lavere kan du regne med at det prosentmessige avviket fra forventningsverdien er. Men det absolutte avviket, i antall øyne, stiger jevnt og trutt.

Gjennomsnitt for 1000 serier:
2 terninger: absoluttavvik ca 2 øyne, relativavvik 7 promille
1000 terninger: absoluttavvik 42 øyne, relativavvik 0.2 promille

Tid i et filosofisk perspektiv

Tid er en sånn sak vi ikke kan observere direkte, litt på samme måte som man ikke kan se selve vinden, bare hvordan den rører på blader og grener.

I fysikkens verden er man glad i å definere ting, og om jeg ikke husker feil så er et sekund definert til å være den tiden det tar et bestemt slags krystall - kanskje det var Cesium-40 atomer? - å svinge noen hundre millioner ganger. Det er ikke en veldig naturlig definisjon, men sekundet var allerede godt innarbeidet til omtrent et hvilepulsslag, også har man funnet noe som er endel mer pålitelig enn akkurat hjerterytmer og talt seg frem til det tallet som må til for at det skal gå opp.

Men det er altså et noe dypere poeng her, med det at vi kan ikke på noen måte observere eller telle eller føle eller fatte tid i seg selv. Vi forholder oss alltid til øyeblikksbilder av verden - hvor solen står eller hvor urviseren peker, også benytter vi oss av at disse følger regelmessige mønstre. Når man ikke har sollys eller klokke å basere seg på, kan man miste tidsbegrepet helt, og må bruke mye dårligere regelmessigheter - hvis man er blitt sulten siden man spiste middag så må det vel være gått noen timer, hvis man ikke er trøtt så kan umulig klokken være mer enn elleve.

Så om man skal bli veldig filosofisk så vil jeg ikke egentlig mene at tid er noen ding an sich. Det faktiske fenomenet er øyeblikksbildene av verden som stadig endrer form. Tid er en måte å forstå og systematisere hvordan disse endringene skjer. Det høres sikkert veldig fjernt ut, men det gir kanskje mer mening om man ser for seg ørkenlandskapet på en meteor langt ute i verdensrommet, hvor det vitterlig ikke skjer stort og alt ser dønn likt ut dag ut og dag inn. Her er hele tidsbegrepet overflødig - alt er bare en frossen stillstand. Tidsbegrepet blir meningsfullt når du har regelmessigheter eller mønstre i hvordan verden endrer seg.

Det finnes både lineære og sykliske fenomener her i verden - et menneskeliv i sin helhet, for eksempel, er en nokså lineær sak, kanskje på sett og viss en slags hestesko, mens hverdager eller slekters gang er mer sykliske med bestemte mønstre som gjentar seg ustanselig. Jeg synes man skal tillate seg begge modellene, alt etter det som passer seg.

Rotutdragning som hoderegning, og også litt om linearisering

Det er kanskje ikke et særlig vanlig problem, men hva om man ville finne ut hva kvadratroten av 60 var, og ikke hadde en kalkulator for hånden?

Det første man kan si, om man kan kvadrattallene sine utenat, er at det må være mellom 7 og 8, fordi:

7^2 = 49 < 60 < 64 = 8^2

Allerede her kan man vel også slumpe til og si at siden 60 er mye nærmere 64 enn 49, så er kanskje kvadratroten ca 7,75 eller noe slikt. Men litt mer ryddig kan vi merke oss at 64 - 49 = 15. Dermed burde verdien av kvadratroten endre seg fra 7,0 til 8,0 i femten steg, ettersom vi går fra 49 til 64. Og i mangel på noe bedre så kan vi forsøke å anta at disse er like store. Altså:

sqrt(50) = 7 + 1/15, sqrt(51) = 7+2/15, ..., sqrt(60) = 7 + 11/15

Nå er det ikke noen drøm å regne ut brøken 11/15 i hodet heller, men vi kan resirkulere det samme trikset som over:

10/15 = 2/3 = 0,67 < 11/15 < 12/15 = 4/5 = 0,8

Totalt sett burde vi altså ende opp ca midt mellom disse to verdiene. Og hvis vi i tillegg jukser litt og husker på at kvadratroten er en konkav funksjon, så vet vi også at vi burde runde opp heller enn ned. Så da ender vi opp med et overslag:

sqrt(60) = 7,74

Den faktiske verdien er 7.74597..., og avviket vårt er altså på under én promille. Ikke helt verst, men heller ikke bedre enn jeg klarte å gjette bare ved å kikke på tallene.

Det finnes langt bedre måter å beregne kvadratrøtter. Men metoden som er brukt over er en form for linearisering, som i tillegg til å være svært enkel også kan brukes på nær sagt alle tenkelige problemstillinger. Det frister å påstå at størsteparten av klassisk fysikk baserer seg på at man kan linearisere ulike fysiske fenomener over tilstrekkelig små intervaller.

For eksempel Hookes lov for fjærkraft og Newtons lov for varmetap.

Lengegrad er vanskeligere enn breddegrad

Et av de viktigste problemene innenfor navigasjon ble først løst på midten av 1700-tallet. Da klarte John Harrison å bygge det første kronometeret (les: klokken) som klarte å holde tiden presist nok gjennom måneder på havet, til at man kunne bestemme hvor langt vest man var kommet ut ifra hvor når solen sto opp. Prinsippet er det samme som er opphavet til jet lag.

Problemet med å bestemme hvor langt nord/sør man er, altså å finne sin egen breddegrad, er langt enklere. Ekvator er nemlig fysisk veldefinert, siden det ligger i det planet hvor jorden roterer rundt sin egen akse. Man kan enkelt bestemme om man er på den nordlige eller sørlige halvkule, bare ved å se på om solen beveger seg mot høyre eller venstre over himmelen. Videre kan man bestemme hvor langt nord man er, ved å se hvor høyt solen står midt på dagen, og hvor lang tid det er fra soloppgang til solnedgang.

Det eneste problemet med å bestemme breddegrad er dermed å klare å måle solvinkelen nøyaktig nok, samt å gjøre noen forholdsvis enkle beregninger som gjerne kan tabuleres.

Øst/vest er langt vanskeligere, fordi det ikke er noe meningsfullt nullpunkt for lengdegrad. Britene definerte det til å gå gjennom London. Hadde de hatt muligheten, ville de også plassert nullpunktet for breddegrad i London, men dette er allerede veldefinert av jordrotasjonen. Kineserene mener den dag i dag at det er nettopp Kina som er midtens rike. Merkelig sammtreff.

Dermed har man ikke noen absolutte holdepunkter for å bestemme lengdegrad. Isteden må man bruke relativdifferanser. En av tidenes største matematiske begavelser, Gauss, forsøkte å løse problemet med utgangspunkt i Jupiters måner. Det fungerte nesten, men krevde teleskop, klarvær, presisjon, regning og gode tabeller.

Alternativet er altså å rett og slett ha en presis klokke og benytte seg av det at solen står opp tidligere i Beijing enn i London. Problemet er at man må ha en ganske ekstrem presisjon før det er noe særlig poeng. Det er om lag 40.000 km rundt jorden langs ekvator, som tilsvarer 24 timer forsinkelse i soloppgang. Hvert eneste sekund klokken din mister gir deg dermed ca en halv kilometers feilmargin.

John Harrison lyktes til slutt. Etter en skipsreise fra England til Jamaica, over 81 dager, var hans marine kronometer kun fem sekunder forsinket. Betydningen for sikrere sjøfart kan knapt overvurderes.

The Hangman's Paradox

Problemet beskrives vanligvis som følger: En mann blir dømt til døden, men man føler ikke at straffen er helt streng nok. Så for å toppe en alminnelig dødsstraff, velger man også å holde det hemmelig hvilken ukedag mannen skal henges. Slik ser man for seg at han også vil plages med uro, og selve henrettelsen blir ekstra virkningsfull når den kommer som en overraskelse.

Men den dømte mannen resonnerer som følger: hvis jeg skal henges i løpet av uken, så er søndag den siste dagen. Men om jeg er i live på søndag morgen, så er overraskelsen alt spolert. Altså kan de ikke ha bestemt seg for å henge meg på søndag. Men dersom søndag kan utelukkes, så er lørdag egentlig den siste sjansen, og om jeg våkner på lørdag så vet jeg at i dag er den siste reelle muligheten, om man skal overraske meg. Så egentlig er ikke lørdag heller noen mulighet.

Slik kommer mannen frem til at han garantert blir hengt allerede mandag, men at dommen mot han er ugyldig. Tross alt - overraskelsesmomentet er jo umulig å få til. Men enden på visen er at han blir hengt på torsdag, og om han føler seg overraskende overrasket. Hvor er egentlig feilen i resonnementet hans?

Det er kanskje enklere å skjønne paradokset om man ser for seg at han skulle henges i helgen, og da er det jo bare to dager å ta av. Om han ikke blir hengt på lørdag, så gjenstår kun søndag. Dermed er det umulig å få til noe overraskelsesmoment på søndag. Ergo må han henges lørdag. Men siden det er den eneste muligheten så er jo heller ikke det særlig overraskende.

Løsningen på paradokset er at det sant nok er umulig å overraske noen som helgarderer seg. Hvis han hver eneste dag antar at han skal bli hengt, så kan han aldri bli overrumplet av selve hengingen. Det er rett og slett ikke mulig å garantere at mannen ikke kan være mentalt forberedt den dagen skafottet reises.

Problemet er altså litt det samme som på veddeløpsbanen. Det er lett å ikke sette penger på feil hest - det er bare å ikke spille. Og det er også lett å sette penger på vinneren - det er bare å vedde på alle hestene samtidig. Her er kostnaden ved å helgardere seg helt tydelig.

Det er altså ikke så dumt å henge mannen på en søndag, hvis man synes det å ha overrasket mannen med å ikke hente han ut av cellen seks dager på rad er like virkningsfullt som en overraskelseshenging.

Hvorfor er det tidevann to ganger om dagen?

De aller fleste har et godt bilde av hvordan det fungerer med dag og natt. I tillegg til å kreste rundt solen, så roterer jorden også rundt sin egen akse. At døgnet er nettopp 24 timer langt er bestemt av tiden jorden bruker på å fullføre denne rotasjonsbevegelsen. Og dermed er det dag på den siden av jorden som vender mot solen, mens den siden som vender bort er i skyggen og har natt.

På samme måte som vi får lys fra solen, så er det månen som forårsaker tidevann. Det rare er bare det at tidevannet ikke følger den samme syklusen. Det er nemlig høyvann to ganger om dagen, ikke bare én. Pussig. Har det noe med månens egen bevegelse å gjøre, som kommer i tillegg til jordrotasjonen? Nei, månen står opp og går ned omtrent en gang om dagen, på akkurat samme måte som solen.

Det er engang slik at lys og gravitasjon ikke fungerer helt på samme måten. På samme måte som det er lysest midt på dagen, er det også høyvann når månen er nærmest oss. Da er kraften månen trekker med aller størst der vi er, og mer av vannet samler seg der. Og med mer vann så blir vannstanden høyere.

Men det er ikke lavvann når månen er på motsatt side av jorden, merkelig nok. Tvert imot er det også da høyvann. Lavvann får vi faktisk midt mellom disse to ytterpunktene, om lag når månen bryter med horisonten på vei opp og ned. Hvordan kan det ha seg?

Forklaringen er ikke spesielt vanskelig, den er bare så lite opplagt. Når månen er rett over oss, så trekker den aller sterkest der vi er, og den trekker da havmassene mot seg selv. Og mot månen, når månen er over oss, er oppover. Resultatet er da høyvann.

Tilsvarende, når månen er på baksiden av jorden, så trekker månen ekstra svakt der vi er, fordi den er ekstra langt borte. Så dette er ett motsatt fortegn - trekkraften er svakere enn vanlig. Men i tillegg så trekker også månen motsatt vei, nedover, fordi den er på feil side av jorden. Og å trekke svakere er litt det samme som å dytte noe vekk fra seg.

Og med to motsatte fortegn som utligner hverandre, blir resultatet nok engang høyvann.

Hvorfor blir det født like mange gutter som jenter?

Spørsmålet gir kanskje mest mening om man er bonde og irriterer seg litt over at man klekker frem så mange hanekyllinger, selv om egentlig er verpehøns man er ute etter. Også med kjøttfe skjønner man fort at man vil ha flere kyr enn okser, for å få nok kalver til å holde bestanden oppe. Dette løser man greiest ved å kjønnsdiskriminere i forbindelse med slakt.

Likevel er det altså slik at alle pattedyr man kan navnet på får omtrent like mange avkom av hvert kjønn. Blant mennesker er det endog en svak overvekt av gutter (51.5%). Burde det ikke vært sånn, med seleksjon og evolusjon og sånt, at populasjoner med stor overvekt at jenter reproduserte seg raskere og utkonkurrerte de andre?

Løsningen på problemet ligger i at en skjev kjønnsfordeling er en ustabil likevekt. Man må holde i tankene at alle barn har nøyaktig en mor og en far, iallfall rent biologisk. Hvis menneskeheten hadde hatt haremlignende tilstander, hvor det ble født ni jenter per gutt, så ville det nødvendigvis vært slik at guttene i en generasjon i gjennomsnitt fikk ni ganger så mange barn som jentene.

Konsekvensen blir da at individer som bryter med mønstret, ved å være mer disponert for å få guttebarn enn populasjonen forøvrig, blir premiert med disproporsjonalt mange barnebarn og oldebarn og også videre. Og over tid vil denne effekten presse kjønnsbalansen tilbake mot midtpunktet.

Det finnes likevel endel dyrearter hvor hannene konkurrerer voldsomt, og hvor en enkelt hann kan monopolisere et titalls hunndyr. Men dersom det ikke er kjønnsskjevheter allerede i fødselstallene, så bryter ikke dette med prinsippet over. Selv om enkelte hanndyr vil ha enorm forplantningsmessig suksess, så er baksiden av speilet at de øvrige hannene kommer til kort.

En liten formålsparagraf

Det heter seg at om man ikke kan forklare noe på en enkel måte, så har man ikke forstått det ordentlig. Som med munnhell flest så er det litt sannhet i det, men tøyer du strikken for langt så ryker den. Jeg spanderer gjerne en kaffe på en som raskt kan forklare meg hvorfor man bor på Island og på Grønnland, men i Japan.

Det må jo selvsagt være fordi Japan består av flere øyer. Men Australia bor man vel i, eller? Og etter å ha stirret meg blind på dette, så er jeg ikke lenger sikker på om man er på ferie i eller på Kanariøyene. Og hva er egentlig greia med at man kan være på matbutikken, men kun i klesbutikken? Merkelig.

Jeg kunne skrevet mye om disse preposisjonsproblemene. Akkurat hvilket av disse småordene som er riktig er gjerne noe at det aller siste man får orden på, når man lærer seg et fremmedspråk. Men det var ikke poenget å rote seg for mye bort i språk akkurat i denne omgang.

Tanken er altså å veldig raskt prøve å si noe som er både sant og interessant om sider av verden som vi vanligvis ikke tenker på nøye over. Kanskje med ekstra stor vekt på sånt som man må være litt spesielt skrudd sammen for å bry seg om. For eksempel - hvorfor er det månen som står for det viktigste bidraget til tidevannet på jorden, mens det i all hovedsak er solen som styrer selve jordbanen? Mystisk.

Også har jeg for uvane å skrive for langt og for mye, og mange av spørsmålene jeg har tenkt meg innom burde egentlig vært behandlet i bokform. Så her er det en ekstra utfordring å prøve å fatte seg i korthet. En god tommelfingerregel er at om det blir bruk for underoverskrifter, så er det allerede for langt.

Man kan avslutte med nok et svulstig munnhell, visstnok etter ingen ringere enn Blaise Pascal: Jeg har skrevet et lengre brev enn vanlig; jeg fant ikke tiden til å gjøre det kortere.